信号与系统系统速成

重要事项

对周期信号不要强行傅里叶变换，要利用一般周期信号性质
积分时注意处理奇点（最好通过性质绕开）；1 的傅里叶变换是 $2\pi\delta(\omega)$
对偶 $\frac 1 {2\pi}$
区分全三角函数和因果三角函数
“稳态”关键词

信号与系统基础

信号：传递信息的函数有输入 $x(t)$ 输出 $y(t)$
系统：实现规定功能而构成的相互关联的集合体
求解系统
- 时域：卷积 / 微分方程 | 卷积和 / 差分方程
- 变换域：傅里叶/拉普拉斯 | 离散傅里叶/Z变换
信号分类：确定性，周期，功率/能量有限，连续/离散时间
系统分类：记忆，因果，稳定（求和），时不变（尺度变换，分段），（增量）线性
- 时不变：$y(t)=f(x(g(t)))$ 有 $f(x(g(t-t_0)))=f(x(g(t)-t_0))$；充分条件：$g(t-t_0)=g(t)-t_0$
脉冲/模拟/数字/离散
信号
- $Sa(t)=\frac{\sin t}{t}$, $\text{sinc}(t)=\frac{\sin \pi t}{\pi t}$, 积分 $\frac\pi\omega$
- $u(t)$, $\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)$
- 离散三角：$\omega=\frac{2\pi}{n}$；$n$ 有理则周期
处理
- 变换：平移，尺度
- 插补
- 分解：直/交流，奇偶，脉冲，正交函数
系统描述
- 系统图：加法器，乘法器，数乘，积分，微分，延时
LTI 中零输入=齐次解，零状态=特解

线性时不变系统

离散：
- 信号：冲激分解
- 系统：冲激响应；卷积和
- 卷积和运算：图解法（反折，重叠） / 解析法（都可以分类讨论）
- 单位冲激响应 $h[t]$
卷积
- 卷积分段点：两个函数零点的和
- 单边函数积分限
- 宽度是原波形和
- 线性
- 时移/微积分：对任何一个 = 对卷积（带 $u(t-t_0)$ 可巧算！）
- 尺度 $f_1(at)\star f_2(at) = \frac1{|a|} f(at)$
- $f \ast \delta = f$, $f \ast \delta’ = f’$；大多数卷积用拉氏变换就好
差分方程/微分方程
- 零输入/零状态响应：起始条件 $0^-$；初始条件 $0^+$
- 自由/强迫响应
- $\sum_0^n C_i \frac{\text{d}^{i}r(t)}{\text{d}t^{i}}=\sum_0^m C_i \frac{\text{d}^{i}\delta(t)}{\text{d}t^{i}}$
  - $n>m$: $h(t)=(\sum_0^n A_ie^{\lambda_i t})u(t)$
  - $n\le m$: $h(t)=(\sum_0^n A_ie^{\lambda_i t})u(t)+\sum_1^{m-n}B_i \delta^{(i)}(t)$
- 差分方程
  - $j^n+(-j)^n \sim cos(\frac{n\pi}{2})$
  - 齐次解：$y_\lambda = (\sum_0^{m-1}C_in^i) \lambda^n$，$\lambda$ 为 $m$ 重根
  - 特解：
    - $n^k \sim n^m\sum_0^k D_in^i$，有 $m$ 重 $1$ 特征根
    - $a^n \sim(\sum_0^m D_in^i)a^n$，$a$ 为 $m$ 重特征根
    - $\sin(\beta n) \sim D_1\sin(\beta n)+D_2\cos(\beta n)$

傅里叶分析

傅里叶 (Fourier) 级数
- 正交：无限积分为 $0$
- 正余弦形式 ($n>0$)：$a_n=\frac 2{T}\int_0^T x(t)\cos(n\omega_0 t)\text{d}t, b_n=\frac 2{T}\int_0^T x(t)\sin(n\omega_0 t)\text{d}t$
- 指数形式 ($n\in\mathbb{Z}$)：$\dot a_n = \frac1T \int_0^T x(t)e^{-jn\omega_0t}\text{d}t$
- 转换：$a_n=2Re(\dot a_n), b_n=-2Im(\dot a_n)$ （实信号）
- 含义
  - $|\dot a_n|^2$: n 次谐波的功率（负的也要考虑，通常双倍）
  - $\bar P = \frac1T\int |x(t)|^2\text{d}t$: 平均功率
  - $\sqrt{\bar P}$: 信号有效值
  - Parseval’s Relation: $\bar P = \sum_{-\infty}^{\infty} |a_k|^2$ （证明：只展开一个傅里叶系数；后同理）
- tips
  - $\sum_{-\infty}^{\infty}\delta(t-kT)$: $a_n=\frac1T$
  - $\sum_{-\infty}^{\infty}u(t-kT-\frac\tau2)-u(t-kT+\frac\tau2)$: $a_n=\frac{\tau}{T} Sa(n\omega_1 \frac\tau2)$
  - 单段函数：直接积分
- 收敛：平方可积/绝对可积且有限区间有有限间断点（Dirichlet 条件）
- 性质
  - 线性
  - $x(t-t_0)\sim e^{-jk\omega_0t_0}a_k$
  - $x(-t)\sim a_{-k}=a_k^\ast$
  - $e^{jM\omega_0 t}x(t) \sim a_{k-M}$
- From 拉普拉斯变换/傅里叶变换：$a_k=\frac 1T F(jk\omega_0)=\frac 1T F(jk\frac{2\pi}{T})$
- $\sum n^{-2} = \frac{\pi^2}{6}$, $\sum(2n-1)^{-2} = \frac{\pi^2}{8}$
傅里叶变换
- Intro: 考虑幅频密度 $\frac{F(n\omega_1)}{\Delta f}$，考虑 $T\to\infty, n\omega_1\to\omega$ 得到变换
- 正变换：$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t }\text{d}t$
- 逆变换：$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t }\text{d}\omega$
- 例
  - $u(t-\frac\tau2)-u(t+\frac\tau2)$：$\tau \operatorname{Sa}(\frac{\omega\tau}{2})$
  - $\operatorname{Sa}(\omega_0 t)$: $\frac{\pi}{\omega} (u(\omega-\omega_0)-u(\omega+\omega_0))$
  - 单边指数 $e^{-\alpha t}u(t)$：$\frac1{\alpha+j\omega}$; $e^{\alpha t}u(-t)$: $\frac{1}{\alpha-j\omega}$ （考虑共轭性）
  - 双边指数 $e^{-\alpha|t|}$: $\frac{2\alpha}{\alpha^2+\omega^2}$
  - $\delta(t)$: $1$; $\frac{1}{2\pi}$: $\delta(\omega)$
  - $\operatorname{sgn}(t)$: $\frac{2}{j\omega}$
  - $u(t)$: $\pi\delta(\omega)+\frac1{j\omega}$
  - $1-|t|$: $\operatorname{Sa}(\frac\omega2)^2$
  - tip: $\int\operatorname{Sa}(\omega)\text{d}\omega$ 方波
- 周期信号
  - $\cos \omega_0 t \sim \pi(\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0))$
  - $\sin \omega_0 t \sim \frac\pi j(\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0))$
  - 冲激采样信号：$F[f_p(t)] = \sum_\infty \frac{\pi}{T_s}\delta(\omega-n\omega_s)$
  - 一般周期信号 $\sum a_k e^{jk\omega_0 t} \sim 2\pi\sum a_k\delta(\omega-k\omega_0)$
  - ($\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{-j\omega k T} = \frac{2\pi}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\frac{2\pi}{T})$)
- 性质：
  - 线性
  - $x(t-t_0)\sim e^{-j\omega t_0}X(\omega), e^{j\omega_0 t}x(t)\sim X(\omega-\omega_0)$
  - $x^\ast(t)\sim X^\ast(-\omega)$
  - $x’(t) \sim j\omega X(\omega), \int x(t)\text{d}t \sim \frac{X(\omega)}{j\omega}+\pi X(0)\delta(\omega), (-jt)x(t)\sim X’(\omega)$
  - $x(at)\sim \frac1{|a|}X(\frac{\omega}{a})$
  - 对偶 $x(t)\sim X(\omega)$ 则 $X(t)\sim 2\pi x(-\omega)$
  - 卷积 $x_1\ast x_2 \sim X_1X_2, x_1x_2 \sim \frac{1}{2\pi} X_1\ast X_2$
- Parseval’s Theorem $\int_\infty |x(t)|^2\text{d}t = \frac1{2\pi} \int_\infty|X(j\omega)|^2\text{d}\omega$
- 采样
  - 抽样原理：编码变换-ADC-（信道）-滤波器-DAC-解码变换
  - (Nyquist) 采样定理：$\omega_s \ge 2\omega_m$
频率域分析
- 适用：零状态，稳态
- 常微分方程：$H(\omega)=\frac{Simulate(\omega)}{Response(\omega)}$ （系数）
  - 对三角函数：关注幅频、相频，直接叠加
- 无失真条件：$|H(\omega)| = K, \varphi(\omega)=-\omega t_0$ ($K$: 增益；$t_0$: 群延时)
- 滤波：频率特性
  - 理想低通阶跃响应：$r(t)=\frac12 + \frac1\pi (t-t_0)\int_0^{\omega_c}\frac{\sin\omega(t-t_0)}{\omega(t-t_0)}\text{d}t\omega = \frac12+\frac1\pi (t-t_0)\operatorname{Si}(\omega_c(t-t_0))$, $t_{\text{rise}}=\frac{2\pi}{\omega_c}=t_c$
  - 非理想低通特性：通/阻带有起伏 $\pm\delta_1/\delta_2$，通带边缘 $\omega_p$, 阻带边缘 $\omega_s$
  - 工程低通：Butterworth, Chebyshev, Cauer （幅频特性逼近更好，$h(t)$ 更差）
  - 物理可实现系统：因果，平方可积
  - 佩利－维纳准则：$\int_{\infty}\frac{|\ln|H(j\omega)||}{1+\omega^2}\text{d}\omega < \infty$ （物理可实现必要条件）
- 调制解调：
  - $s_{AM}(t)=(1+km(t))\cos\omega_0 t$
  - $S_{AM}(\omega)=M(\omega)(\frac12 \delta(\omega-\omega_0))+\frac12 \delta(\omega+\omega_0))=\frac12(M(\omega-\omega_0)+M(\omega+\omega_0))$
  - 解调：再乘 $\cos\omega_0 t$ ，使 $S(\omega)=\frac14 M(\omega-2\omega_0)+\frac12 M(\omega)+\frac12(\omega+2\omega_0)$ ，再过低通

离散傅里叶分析

离散傅里叶级数 DFS
- 有限项级数，频谱周期
- 离散信号可以认为是连续信号的冲激采样
- $a_k=\frac1{NT_s}\sum_0^{N-1} x(nT_s)e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}$
- $a_k$ 例
  - 周期方波($N_1/N$): $\frac1N \frac{\sin \frac\pi N k(2N_1+1)}{\sin\frac{\pi}{N}k}$ （注意这里的 $N_1$ 对应连续的 $\frac\tau2$ 而非 $\tau$）
DTFT
- 对比CFS 有 $\frac{2\pi}{N}k \to \omega$
- $X(e^{j\omega})=\sum_\infty x[n]e^{-j\omega n}$
- $x[n]=\frac1{2\pi} \int_{2\pi} X(e^{j\omega})e^{j\omega n}\text{d}\omega$
- 收敛条件：$\sum|x[n]|^2<\infty$ or $\sum|x[n]| < \infty$ 且一致收敛
- 例
  - $\delta[n] \sim 1$
  - 矩形脉冲 $|n|\le N_1$: $\frac{\sin(2N_1+1)\frac\omega2}{\sin\frac\omega2}$
  - 频域矩形 $\frac{\sin\omega_s n}{\pi n} \sim u(\omega-\omega_s)-u(\omega+\omega_s)$
  - 实指数 $a^nu(n) \sim \frac1{1-ae^{-j\omega}}$
  - 非因果实指数 $a^nu(-n) \sim \frac{1}{1-a^{-1}e^{j\omega}}$
  - 双边指数 $a^{|n|} \sim \frac{1-a^2}{1+a^2-2a\cos\omega}$
  - 常数 $1\sim2\pi\sum_\infty\delta[\omega-2\pi k]$
  - 一般周期：$2\pi \sum_N a_k \delta[\omega-\frac{2\pi}{N}k]$ 的周期化
- 性质
  - 周期性，线性，时移频移，时间反转，共轭对称
  - 差分 $x[n]-x[n-1] \sim (1-e^{-j\omega})X(e^{j\omega})$
  - 求和 $\sum_{-\infty}^{n}x[k] \sim \frac{X(e^{j\omega})}{1-e^{-j\omega}}+\pi X(\omega=0)\delta(\omega)$ 的周期化
  - 时域内插 $x_k(n) \sim X(e^{jk\omega})$
  - 频域微分 $nx[n] \sim j\frac{\text{d}X(e^{j\omega})}{\text{d}\omega}$
  - Parseval定理 $\sum_\infty|x[n]|^2 = \frac1{2\pi} \int_{2\pi} |X(e^{j\omega})|^2\text{d}\omega$
  - 卷积性质 $x(n)\ast h(n) \sim X(\omega)H(\omega)$
  - 调制性质 $x(n)h(n) \sim \frac1{2\pi} X(\omega)\ast H(\omega)$

拉普拉斯变换

双边拉氏变换 $X(s)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-st}\text{d}t$
反变换 $X(s)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}X(s)e^{st}\text{d}s$
ROC：平行 $j$ 轴，极点为边界，时限信号 ROC 无限，左右边信号
零极点图：零点 ○, 极点 x；可能抵消；注意分母 $z^{-1}$ 自带一个 $0$ 零点
拉氏变换对
- $u(t)\sim\frac1s, \operatorname{Re}(s)>0$ ($\sim \frac1s + \pi\delta(s)$)
- $\delta(t)\sim1$
- $1 \sim 2\pi\delta(s)$
- $e^{-at}u(t) \sim \frac{1}{s+a}$
- $\sin\omega t\ u(t)\sim\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$, $\cos\omega t\ u\sim\frac{s}{s^2+\omega^2}$
- $\operatorname{Rect}_{\tau}(t) \sim \tau \operatorname{Sah}\frac{s\tau}{2}$ （宽度 $\tau$）；对称三角（宽度 $2\tau$）：$(\tau\operatorname{Sah}\frac{s\tau}{2})^2$
性质
- $x(t-t_0) \sim X(s)e^{-st_0}$
- $x(t)e^{s_0t} \sim X(s-s_0)$ （注意 ROC 平移）
- $x(at) \sim \frac{1}{|a|}X(\frac sa)$ （注意 ROC 尺度变换）
- $x^\ast(t)\sim X^\ast(s^\ast)$ （若 $x(t)$ 实则极点共轭也是极点）
- $x_1(t)\ast x_2(t) \sim X_1(s)X_2(s)$, $x_1(t)x_2(t)\sim \frac1{2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty}F(\sigma)G(s-\sigma)\text{d}\sigma$
- $x’(t)\sim sX(s)$, $-tx(t)\sim X’(s)$, $\int_{-\infty}^{t}x(\tau)\text{d}\tau \sim \frac{X(s)}{s}$, $\frac{x(t)}{t} \sim \int_{s}^{\infty} X(\eta)\text{d}\eta$
  - 单边 $x’(t)\sim sX(s)-x(0^-)$ , $x^{(-1)}(t)=\frac{X(s)}{s}+\frac{x^{(-1)}(0^-)}{s}$
- $x(\infty)=\lim_{s\to 0}sX(s)$ （条件：因果，原函数无 $\delta(t)$)（推导：幂级数展开）
- $x(0^+)=\lim_{s\to\infty} sX(s)$ （条件：因果，极点 <0 且至多一个 0）（推导：考虑 $\int_{0^+}^{\infty}e^{-st}\text{d}x(t)$ 换元）
- 周期信号只有单边 $f(s)=\sum_\infty f_1(t-nT) \sim \frac{F_1(s)}{1-e^{-sT}}$
- 没有对偶性
单边：$[0^-,\infty]$ or $[-\infty, 0^+]$ ROC 为最右极点之右
LTI $H(s)$
- 因果稳定：$\infty\in ROC$；极点<0
全通网络：$|H(j\omega)|=K$

Z 变换

$X(z)=\sum_\infty x[n]z^{-n}$
- $z=e^{sT}=e^{j\omega}$
- 有限长序列的ROC是整个有限Z平面
- 反变换 $x(n)=\frac1{2\pi j}\oint_{|z|=r} X(z)z^{n-1}\text{d}z$ （逆时针）
- 技巧：$\frac1z X(z)=\sum \frac {C_i}{z-z_i}$
变换对
- $\delta(n) \sim 1$
- $u(n) \sim \frac z {z-1}, |z|>1$
- $a^n u(n), -a^n u(-n-1) \sim \frac{z}{z-a}$
- $na^nu(n)\sim \frac {az} {(z-a)^2}$
- $z_0^n x(n) \sim X(\frac{z}{z_0})$
- $x(-n) \sim X(z^{-1})$, $x^\ast(n) \sim X^\ast(z^\ast)$
- 时域内插 $x_k=x(n/k) \sim X(z^k)$
- $nx(n)\sim -zX’(z)$
- $x(n+n_0)\sim X(z)z^{n_0}$
  - 单边右移 $x(n-n_0) \sim z^{-n_0}(X(z) + \sum_{1}^{n_0}x(-k)z^{k})$
  - 单边左移 $x(n+n_0) \sim z^{n_0}(X(z)-\sum_{0}^{n_0-1} x(k)z^{-k})$
- $x(0)=\lim_{z\to\infty} X(z)$, $x(\infty)=\lim_{z\to 1} (z-1)X(z)$ （因果；推导：按 Z 变换定义展开；时移性质）

重要事项

信号与系统 基础

线性时不变系统

傅里叶分析

离散傅里叶分析

拉普拉斯变换

Z 变换

信号与系统基础