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群

  • 关系：有序对集合
    • 等价：反身，对称，传递
    • 等价类 $[a]$，等价关系商集，分类/划分
  • 群
    • 代数运算
    • 群：代数运算，结合律，单位元，逆元
    • 交换群，有限群
    • 性质：
      • 单位元唯一，逆元唯一，消去律成立
      • 方幂的指数法则
    • 充要条件1：结合，左单位，左逆
    • 充要条件2：结合，$ax=b, ya=b$ 有解
  • 子群 $H<G$
    • 平凡：$G, \lbrace e\rbrace $
    • 性质：$H,G$ 单位元相同，逆元相同
    • 充要条件1：$ab\in H, a^{-1}\in H$
    • 充要条件2：$ab^{-1}\in H$
    • 充要条件3：有限，$ab\in H$
    • 子群的交是子群，子群并是子群<=>包含，子群乘积是子群<=任一正规
  • 同构 $\cong$
    • 同态：$\forall a,b\in G, \phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$
      • 单位元、逆元对应
      • $\operatorname{ord}(\phi(a)) \mid \operatorname{ord}(a)$
      • 子群、正规子群保持
      • $\ker \phi = \phi^{-1}(e’) = \lbrace x\in G \mid \phi(x) = e’\rbrace \triangleleft G$
      • 循环群 $\langle g\rangle$ 的同态由 $\phi(g)$ 确定
      • 自然同态 $G \to G/H: a \to \bar{a}$
    • 同构：一一映射的同态
      • 恒等同构 $\iota$
      • $\phi(e)=e’$, $\phi(a^{-1})=a’^{-1}$, $\phi^{-1}$ 是同构映射
      • 同构是等价关系
      • 判定：构造 $\phi$，同态+单满
    • 群同态基本定理：
      • 若 $\phi: G\to G’$ 满，则 $G/\ker \phi \cong G’$ - 满同态的集合结构（并非同构）：$\ker \phi \times G'$
      • $HK/K \cong H/(H\cap K)$ ($H$ 不需要正规）- $HK$ 的结构：$K \times (H/(H\cap K))$
      • $(G/N)/(K/N)\cong G/K$
  • 阶
    • $\operatorname{ord}(a) = \min\lbrace r\rbrace \quad\text{s.t.}\quad a^r=e$
    • $\operatorname{ord}(a)\mid|G|$
  • 循环群
    • 存在 $a$ 使 $G=\langle a\rangle$
    • $a^r$ 是生成元 $\Leftrightarrow$ $r, |G|$ 互素；$G$ 恰有 $\phi(n)$ 个生成元
    • $\langle a^r\rangle = \langle a^{gcd(r,n)}\rangle$
    • 结构：无限 $\cong(\mathbb{Z},+)$, 有限 $\cong(\mathbb{Z_n},+)$；子群是循环群（推论：$\langle a\rangle$ 的子群为 $\lbrace\langle a^d\rangle | d|\operatorname{ord}(a)\rbrace$ ）
    • 循环群 $\langle g\rangle$ 的同态由 $\phi(g)$ 确定
    • 素数阶群是循环群（拉格朗日定理）
  • 置换群
    • 每一个有限群同构于一个置换群
    • $n$次置换群 $S_n$ 的阶是 $n!$。
    • $\tau\sigma\tau^{-1} = \left(\begin{array}{} \tau(1) & \tau(2) &\cdots &\tau(n) \newline \tau(\sigma(1)) & \tau(\sigma(2)) &\cdots &\tau(\sigma(n)) \end{array}\right)$
    • 轮换 $(i_1i_2\cdots i_n)$
    • $(a,b)=(1,a)(1,b)(1,a)$
    • 不相交的轮换是可以交换的，每一个置换可（唯一）表为一些不相交轮换的乘积
    • 每个置换都可表为对换的乘积
    • 奇偶置换，将一个置换表示为对换的乘积，所用对换个数奇偶性唯一
  • 子群
    • $gA=gB\Leftrightarrow A=B \Leftrightarrow Ag=Bg$
    • $H\cdot H = H$
    • $A,B$ 是子群，$AB$ 是子群 $\Leftrightarrow AB=BA$
    • 陪集 $aH$ （$H$ 是子群，非正规时，陪集结构比较丑陋）；陪集集 $G/H=\lbrace gH|g\in G\rbrace$
    • $aH=H$ $\Leftrightarrow$ $aH$ 为群 $\Leftrightarrow$ $a\in H$
    • $aH=bH \Leftrightarrow a\in H$
    • 拉格朗日定理：
      • $H$ 在 $G$ 中的指数 / $H$ 陪集个数 $[G : H] = |G/H| = |H \backslash G| = \frac{|G|}{|H|}$
      • 一个元素的阶都是 $|G|$ 的因子
      • $[G : K] = [G : H][H : K]$
      • $|A||B| = |AB||A\cap B|$ （证明：构造 $A/A\cap B \to A/B: x(A\cap B)\mapsto xB$）
      • 费马定理：$a^{p-1}\equiv1\mod p$
  • 正规子群
    • $H\triangleleft G$ : $\forall a\in G, aH = Ha$
      • 平凡：$G,\lbrace e\rbrace $；只有平凡正规子群的是单群
      • 交换群的子群是正规子群
      • 正规子群的子群是正规子群
      • 正规子群的交、积是正规子群
      • $[G:H]=2 \Rightarrow H\triangleleft G$
    • 判定：$\forall a\in G, aha^{-1}\in H$
    • 商群：陪集 $aH$ 集合，$|G/H|=[G:H]=\frac{|G|}{|H|}$ （可以考虑成 $\cong \lbrace a\rbrace $）
    • tip：
      • 对置换群，利用 $\tau\sigma\tau^{-1}$
      • $\forall \sigma\in G, H\triangleleft G$, 有 $\sigma^{[G:H]}\in H$
      • 交换群
  • 直积
    • 外直积： $G_1 \times G_2$ or $G_1 \oplus G_2$
      • $|G_1\times G_2| = |G_1||G_2|$
      • $\operatorname{ord}(a,b)=lcm(\operatorname{ord}(a),\operatorname{ord}(b))$
      • $\langle m \rangle \times \langle n \rangle$ 循环 $\Leftrightarrow$ $gcd(\operatorname{ord}(m), \operatorname{ord}(n)) = 1$
    • 内直积：$HK$ if $H\cap K = \lbrace e\rbrace , H,K\triangleleft G$
    • 内直积充要条件：$G$ 中每个元素唯一表示为 $hk$，且 $h,k$ 可交换 （证明：考虑 $hkh^{-1}k^{-1}\in H\cap K = \lbrace{e}\rbrace$）
    • 内直积（若存在）同构于外直积
  • 环 $(R,+,\cdot)$
    • $(R,+)$ 交换群，乘法结合律、分配律成立
    • 单位：乘可逆元（注意和单位元区别）
    • 子环 $S<R$：加法封闭，乘法封闭
    • 无零因子：乘消去律成立
    • 整环：无零因子，有单位元，交换
    • 域：加交换群，去除0后为乘交换群（除0可逆的整环）
      • 例：$\mathbb{C,R,Q},F[x],\mathbb{Q}[\sqrt{d}],Z_p$
      • 可定义除法 $a\div b=a\cdot b^{-1}$
    • 理想 $I\triangleleft R$：加法封闭，乘法吸收，$IR\subseteq I$, $RI\subseteq I$
      • 充要条件：$a-b, ar, ra \in I$
      • 平凡：$\lbrace 0\rbrace , R$
      • 理想的交、和是理想
      • 主理想 $\langle a \rangle$ 为最小的含 $a$ 理想/带 $a$ 理想的交
        • 交换环：$\langle a \rangle = \lbrace xa+ma, x\in R, m\in Z\rbrace $
        • $R$ 有单位元：$\langle a \rangle =\lbrace xa,x\in R\rbrace $
      • 素理想：真理想且 $a,b\in R, ab\in P \Rightarrow a\in P \text{ or } b\in P$
        • $R$ 有单位元、交换，则 $P$ 素 $\Leftrightarrow$ $R/P$ 是整环
      • 极大理想 $M$：不存在理想 $N$, $M\subset N \subset R$
        • $R$ 有单位元、交换，则 $P$ 极大 $\Leftrightarrow$ $R/P$ 是域
        • $R$ 有单位元、交换，则 $P$ 极大 $\Rightarrow$ $P$ 素
    • 商环 $R/I$：由+交换，$I$ 显然正规
    • 环同态：加乘同态
      • 整数乘、整数幂次同态，乘单位
      • 满同态：$\phi(e)=e’$；$R’$ 无零因子，$\phi(e)=e’ \text{ or } 0$；若 $\phi(e_1)=e_1'$
    • 中国剩余定理：若 $R$ 单位且交换，$I,J$ 是理想，$I+J=R$，则
      1. $I\cap J = IJ$
      2. $R/IJ \cong R/I \times R/J$
    • 特征 $\operatorname{Char}\ R = \min\lbrace n | \forall a\in R, na=0, n\in \mathbb{N}^*\rbrace $
      • $R$ 有单位元，$\operatorname{Char}(R)=\operatorname{ord}(e)$
      • Char 整环 是素数
      • $F$ 是域，则有子域 $F’\cong Z_{\operatorname{Char}\ F}$
  • 奇怪的群
    • $G$ （群/环）的中心 $C(G)$：$\lbrace g | gx=xg. \forall x \in G\rbrace $ 是子群/子环
    • $G$ 的内自同构群 $\operatorname{Inn}(G)=\lbrace f(x)=gxg^{-1} | g\in G\rbrace$ 是自同构群 $\operatorname{Aut}(G)$ 的正规子群，$\operatorname{Aut}(G) / \operatorname{Inn}(G) = \operatorname{Out}(G)$ 为外自同构群
    • $GL_n$: $n$ 阶可逆矩阵乘法群；$SL_n$: $n$ 阶行列式 1 矩阵乘法群
    • 生成子群 $\langle S\rangle = \cap _{S\subseteq H<G} H, S\subseteq G$
      • 若 $S=\lbrace s_1,…s_n\rbrace $，记 $\langle S\rangle = \langle s_1…s_n\rangle$
      • $S=\lbrace s_1^{l_1}…s_k^{l_k} | s_1…s_k\in S, l_i\in \mathbb{Z}\rbrace $ (tip: $s_i, s_j$ 可重复（不交换）)
    • 变换群：
      • 令 $S_X$ 为 $X$ 中所有可逆变换组成的集合，$S_X$ 关于变换合成构成群，称为对称群
      • $S_X$ 的子群为变换群
      • 凯莱定理：每个群都同构于一个变换群 $G_\mathcal{l} = \lbrace \phi_a(x)=ax|a\in G\rbrace $
    • $p$ 素，$Z^\star_p$ 是 $p-1$ 阶循环群
    • $n$次置换群 $S_n$ 的阶是 $n!$。
    • $A_n$ 偶置换构成 $S_n$ 的一个子群称为 $n$ 次交错群
    • 整数环的理想：找到最小元，构成主理想
  • 方法论
    • 集合相等：包含且被包含（某方向可用 $|G|$ 相等替代） / 单射+满射
    • 没思路：数学归纳法